Question

13．已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|2x-2|．
（1）解不等式f（x）＞5；
（2）若關(guān)于x的方程$\frac{1}{f（x）}$-5=t的解集為空集，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡函數(shù)的解析式為函數(shù)f（x）=|x+1|+|2x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+1，x＜-1}\\{-x+3，-1≤x≤1}\\{3x-1，x＞1}\end{array}\right.$分類討論求得原不等式解集．
（2）由（1）中分段函數(shù)f（x）的解析式可得f（x）的單調(diào)性，由此求得函數(shù)f（x）的值域，可得$\frac{1}{f（x）}$的取值范圍，再根關(guān)于x的方程$\frac{1}{f（x）}$-5=t的解集為空集，求得實數(shù)t的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=|x+1|+|2x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+1，x＜-1}\\{-x+3，-1≤x≤1}\\{3x-1，x＞1}\end{array}\right.$
當(dāng)x＞1時，由3x-1＞5解得：x＞2；當(dāng)-1≤x≤1時，由-x+3＞5得x＜-22 （舍去）．
當(dāng)x＜-1時，由-3x+1＞5，解得x＜-$\frac{4}{3}$．
所以原不等式解集為{x|x＜-$\frac{4}{3}$或x＞2}．
（2）由（1）中分段函數(shù)f（x）的解析式可知：f（x）在區(qū)間（-∞，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增．
并且f（x）的最小值為f（1）=2，所以函數(shù)f（x）的值域為[2，+∞），
從而$\frac{1}{f（x）}$的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$]，
根據(jù)關(guān)于x的方程$\frac{1}{f（x）}$-5=t的解集為空集，可得t+5≤0或t+5＞$\frac{1}{2}$
所以實數(shù)t的取值范圍是（-∞，-5]或（-$\frac{9}{2}$，+∞）．

點評 本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．