Question

19．設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，則$\frac{a}{a+2b}+\frac{a+b}$的最小值為2$\sqrt{2}$-2．

Answer 1

分析 把所給的式子直接通分相加，把分子整理出含有分母的形式，做到分子常數(shù)化，分子和分母同除以分母，把原式的分母變化成具有基本不等式的形式，求出最小值

解答 解：$\frac{a}{a+2b}+\frac{a+b}$=$\frac{{a}^{2}+2ab+2^{2}}{{a}^{2}+3ab+2^{2}}$=1-$\frac{ab}{{a}^{2}+3ab+2^{2}}$=1-$\frac{1}{\frac{a}+\frac{2b}{a}+3}$，
∵a，b為正實(shí)數(shù)，
∴$\frac{a}+\frac{2b}{a}$≥2$\sqrt{\frac{a}•\frac{2b}{a}}$=2$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=$\sqrt{2}$b時(shí)取等號，
∴$\frac{a}{a+2b}+\frac{a+b}$≥1-$\frac{1}{2\sqrt{2}+3}$=1-（3-2$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$-2，
故$\frac{a}{a+2b}+\frac{a+b}$的最小值為：$2\sqrt{2}-2$，
故答案為：2$\sqrt{2}$-2

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，本題解題的關(guān)鍵是整理出原式含有基本不等式的形式，可以應(yīng)用基本不等式求最值．