如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB⊥BC，側(cè)棱SA⊥底面ABCD，點O為側(cè)棱SC的中點，且SA=AB=BC=2，AD=1．
（Ⅰ）求證：OD⊥SB；
（Ⅱ）求面SCD與面SAB所成銳二面角的余弦值．
考點：用空間向量求平面間的夾角
專題：空間向量及應(yīng)用
分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標系，利用坐標法即可證明OD⊥SB；
（Ⅱ）求出平面的法向量，利用二面角和法向量之間的關(guān)系即可求出面SCD與面SAB所成銳二面角的余弦值．
解答： 解：建立如圖所示空間直角坐標系，根據(jù)已知條件可有：A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），S（0，0，2）于是O（1，1，1），
（Ⅰ）因為
DO
=(0，1，1)，
SB
=(0，2，-2)，
所以
DO
•
SB
=0，
故OD⊥SB．
（Ⅱ）由已知，是平面SAB的一個法向量，可設(shè)平面SCD的法向量為
n
=(a，b，c)，
由
DC
=(1，2，0)，
DS
=(-1，0，2)，
可得
a+2b=0
-a+2c=0
，
根據(jù)這個方程組，可取
n
=(2，-1，1)，
設(shè)所求二面角的平面角為θ，則cosθ=
AD
•
n
|
AD
||
n
|
=
6
3
，
故所求二面角的余弦值為
6
3
．
點評：本題主要考查空間直線和直線的垂直判斷，以及空間二面角的求解，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理以及，空間向量與二面角的關(guān)系．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對任意的x∈R，函數(shù)f（x）=x3+ax2+7ax不存在極值點的充要條件是（　�。�
A、a=0或a=7
B、a＜0或a＞21
C、0≤a≤21
D、a=0或a=21

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，E是PC的中點，
求證：PA∥平面EDB．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知方程x2-2x+2=0，x∈C；
（1）解此方程；
（2）若復(fù)數(shù)ω=3+i，z為上述方程的根，且復(fù)數(shù)ω、z在復(fù)平面內(nèi)表示的點位于同一象限，計算z4+zω+
ω
z
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知△AOB中，∠AOB=
π
2
，且向量
OA
=（-1，3），
OB
=（cosα，-sinα）．
（1）求
sin(π-2α)+cos2α
2cos2α+sin2α+2
；
（2）若α是鈍角，α-β是銳角，且sin（α-β）=
3
5
，求sinβ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

平行四邊形ABCD中，AB=1，AD=2，且∠BAD=60°，以BD為折線，把△ABD折起，使平面ABD⊥平面CBD，連接AC．

（Ⅰ）求證：AB⊥DC；
（Ⅱ）求二面角B-AC-D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

是否存在常數(shù)a、b，使等式：12+22+32+…+n2=an（n+b）（2n+1）對一切正整數(shù)n成立？并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（1，
3
2
），其離心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過坐標原點O作不與坐標軸重合的直線l交橢圓C于P、Q兩點，過P作x軸的垂線，垂足為D，連接QD并延長交橢圓C于點E，試判斷隨著l的轉(zhuǎn)動，直線PE與l的斜率的乘積是否為定值？說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，PA⊥平面ABC，AB⊥BC．AD垂直于PB于D，AE垂直于PC于E．PA=
2
，AB=BC=1．
（1）求證：PC⊥平面ADE；
（2）R為四面體PABC內(nèi)部的點，BR∥平面AED，求R點軌跡形成圖形的面積．

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