Question

已知方程x²-2x+2=0，x∈C；
（1）解此方程；
（2）若復數(shù)ω=3+i，z為上述方程的根，且復數(shù)ω、z在復平面內(nèi)表示的點位于同一象限，計算z⁴+zω+

ω

z

的值．

Answer 1

考點：復數(shù)代數(shù)形式的混合運算

專題：數(shù)系的擴充和復數(shù)

分析：（1）由題意可得 （x-1）²=-1=（±i）²，故有x-1=±i，由此求得方程的解．
（2）由題意可得 z=1+i，再利用兩個復數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的冪運算性質(zhì)化簡 z⁴+zω+

ω

z

，可得結(jié)果．

解答： 解：（1）∵方程x²-2x+2=0，x∈C，∴（x-1）²=-1=（±i）²，∴x-1=±i，
∴方程的解為x=1±i．
（2）若復數(shù)ω=3+i，z為上述方程的根，且復數(shù)ω、z在復平面內(nèi)表示的點位于同一象限，
則 z=1+i，∴z²=2i，z⁴=-4，
∴z⁴+zω+

ω

z

=-4+（1+i）（3+i）+

3+i

1+i

=-4+2+4i+2-i=3i．

點評：本題主要考查兩個復數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的冪運算性質(zhì)，解復數(shù)方程，屬于基礎題．