Question

【題目】已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率．

（Ⅰ）求橢圓的方程．

（Ⅱ）若橢圓上存在點(diǎn)、關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，求的所有取值構(gòu)成的集合，并證明對(duì)于， 的中點(diǎn)恒在一條定直線(xiàn)上．

Answer 1

【答案】（）．（）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）因?yàn)?橢圓過(guò)點(diǎn)，所以．因?yàn)?/span>， 所以．所以橢圓的方程為；（Ⅱ）依題意得．因?yàn)?橢圓上存在點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以 直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，且線(xiàn)段的中點(diǎn)在直線(xiàn)上．

設(shè)直線(xiàn)的方程為．由得，由得①， 的中點(diǎn)坐標(biāo)為所以，所以代入①得或，所以或

因?yàn)?/span>，所以 對(duì)于，線(xiàn)段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)恒為，即線(xiàn)段的中點(diǎn)總在直線(xiàn)上．

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?橢圓過(guò)點(diǎn)，

所以． 1分

因?yàn)?/span>，

所以．

所以 橢圓的方程為3分

（Ⅱ）方法一：

依題意得．

因?yàn)?橢圓上存在點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，

所以 直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，且線(xiàn)段的中點(diǎn)在直線(xiàn)上．

設(shè)直線(xiàn)的方程為．

由得． 5分

由，

得．（*）

因?yàn)?/span>， 7分

所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為．

又線(xiàn)段的中點(diǎn)在直線(xiàn)上，

所以．

所以． 9分

代入（*），得或．

所以或． 11分

因?yàn)?/span>，

所以 對(duì)于，線(xiàn)段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)恒為，即線(xiàn)段的中點(diǎn)總在直線(xiàn)上．

13分

方法二：

因?yàn)?點(diǎn)在直線(xiàn)上，且關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，

所以，且．

設(shè)（），的中點(diǎn)為．

則． 6分

又在橢圓上，

所以．

所以．

化簡(jiǎn)，得．

所以． 9分

又因?yàn)?/span>的中點(diǎn)在直線(xiàn)上，

所以．

所以．

由可得．

所以，或，即，或．

所以或．． 12分

所以 對(duì)于，線(xiàn)段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)恒為，即線(xiàn)段的中點(diǎn)總在直線(xiàn)上．

13分