Question

函數(shù)f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，其中a為常數(shù)，且函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與坐標軸的交點處的切線互相平行．
（Ⅰ）求此平行線的距離；
（Ⅱ）若存在x使不等式成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）對于函數(shù)y=f（x）和y=g（x）公共定義域中的任意實數(shù)x，我們把|f（x）-g（x）|的值稱為兩函數(shù)在x處的偏差．求證：函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導函數(shù)，利用函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與坐標軸的交點處的切線互相平行，確定a的值，從而可得切線方程，即可求得兩平行切線間的距離；
（Ⅱ）問題等價于在x∈[0，+∞）有解，令，則m＜h_max（x），由此即可求得實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）證法一：函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的偏差為：F（x）=|f（x）-g（x）|=e^x-lnx，x∈（0，+∞），求出其最小值，即可得到結論；
證法二：由于函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的偏差：F（x）=|f（x）-g（x）|=e^x-lnx，x∈（0，+∞），構造函數(shù)，x∈（0，+∞），F(xiàn)₂（x）=x-lnx，x∈（0，+∞），確定其單調(diào)性，確定其范圍，即可求得結論．
解答：（Ⅰ）解：f'（x）=ae^x，，
y=f（x）的圖象與坐標軸的交點為（0，a），y=g（x）的圖象與坐標軸的交點為（a，0），
∵函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與坐標軸的交點處的切線互相平行
∴f'（0）=g'（a），即
又∵a＞0，∴a=1．
∴f（x）=e^x，g（x）=lnx，
∴函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在其坐標軸的交點處的切線方程分別為：x-y+1=0，x-y-1=0
∴兩平行切線間的距離為．
（Ⅱ）解：由得，故在x∈[0，+∞）有解，
令，則m＜h_max（x）．
當x=0時，m＜0；
當x＞0時，∵，
∵x＞0，∴，∴
故
即在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞減，故h（x）_max=h（0）=0，∴m＜0
即實數(shù)m的取值范圍為（-∞，0）．
（Ⅲ）證法一：∵函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的偏差為：F（x）=|f（x）-g（x）|=e^x-lnx，x∈（0，+∞）
∴，
設x=t為的解，則當x∈（0，t），F(xiàn)'（x）＜0；
當x∈（t，+∞），F(xiàn)'（x）＞0，∴F（x）在（0，t）單調(diào)遞減，在（t，+∞）單調(diào)遞增
∴
∵f'（1）=e-1＞0，，∴
故
即函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2．
證法二：由于函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的偏差：F（x）=|f（x）-g（x）|=e^x-lnx，x∈（0，+∞）
令，x∈（0，+∞）；令F₂（x）=x-lnx，x∈（0，+∞）
∵，，
∴F₁（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，F(xiàn)₂（x）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增
∴F₁（x）＞F₁（0）=1，F(xiàn)₂（x）≥F₂（1）=1，
∴F（x）=e^x-lnx=F₁（x）+F₂（x）＞2
即函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查新定義，正確求導，理解新定義是解題的關鍵．