Question

11．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c
（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，是否存在實(shí)數(shù)m，使當(dāng)f（m）=-a時(shí)，f（m+3）為正數(shù)？
（2）若-∞＜x₁＜x₂＜+∞，f（x₁）≠f（x₂），且方程f（x）=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求證：必有一實(shí)根在x₁與x₂之間．

Answer 1

分析 （1）由條件知方程的一根為1，另一根滿(mǎn)足-2＜x₂＜0．由于f（m）=-a＜0，可知m∈（-2，1），從而m+3＞1，根據(jù)函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，可知（m+3）＞0成立．；
（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，進(jìn)而證明g（x₁）g（x₂）＜0，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得方程g（x）=0在（x₁，x₂）內(nèi)有一根，故方程f（x）=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]必有一根屬于（x₁，x₂）．

解答 解：（1）因?yàn)閒（1）=0，所以a+b+c=0，
又因?yàn)閍＞b＞c，所以a＞0，且c＜0，
因此ac＜0，
所以△=b²-4ac＞0，
因此f（x）的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)．
可知方程f（x）=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)為x₁和x₂，
因?yàn)閒（1）=0，
所以f（x）=0的一根為x₁=1，
因?yàn)閤₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，
所以x₂=-$\frac{a}$-1=$\frac{c}{a}$，
因?yàn)閍＞b＞c，a＞0，且c＜0，
所以-2＜x₂＜0．
因?yàn)橐�求f（m）=-a＜0，
所以m∈（x₁，x₂），
因此m∈（-2，1），則m+3＞1，
因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增；
所以f（m+3）＞f（1）=0成立．
（2）證明：構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，
則g（x₁）=f（x₁）-$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]=$\frac{1}{2}$[f（x₁）-f（x₂）]，
g（x₂）=f（x₂）-$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]=$\frac{1}{2}$[f（x₂）-f（x₁）]，
于是g（x₁）g（x₂）=$\frac{1}{4}$[f（x₁）-f（x₂）][f（x₂）-f（x₁）]
=-$\frac{1}{4}$[f（x₁）-f（x₂）]²，
因?yàn)閒（x₁）≠f（x₂），
所以g（x₁）g（x₂）=-$\frac{1}{4}$[f（x₁）-f（x₂）]²＜0，
所以方程g（x）=0在（x₁，x₂）內(nèi)有一根，
即方程f（x）=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]必有一根屬于（x₁，x₂）．

點(diǎn)評(píng) 本題以二次函數(shù)為載體，考查方程根的探求，考查函數(shù)值的確定及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，有一定的綜合性．