Question

已知函數(shù)f(x)=

ax+b

cx2+1

（a，b，c為常數(shù)，a≠0）．
（Ⅰ）若c=0時(shí)，數(shù)列a_n滿足條件：點(diǎn)（n，a_n）在函數(shù)f(x)=

ax+b

cx2+1

的圖象上，求a_n的前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若a₃=7，S₄=24，p，q∈N^*（p≠q），證明：Sp+q＜

1

2

(S2p+S2q)；
（Ⅲ）若c=1時(shí)，f（x）是奇函數(shù)，f（1）=1，數(shù)列x_n滿足x1=

1

2

，x_n+1=f（x_n），求證：

(x1-x2)2

x1x2

+

(x2-x3)2

x2x3

+…+

(xn-xn+1)2

xnxn+1

＜

5

16

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知函數(shù)f(x)=

ax+b

cx2+1

，因?yàn)辄c(diǎn)（n，a_n）在函數(shù)f（x）=ax+b的圖象上，可得a_n是首項(xiàng)是a₁=a+b，公差為d=a的等差數(shù)列，從而求出a_n的前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的條件，求出a_n的通項(xiàng)公式，因?yàn)?S_p+q-（S_2p+S_2q），化簡(jiǎn)后即可證明；
（Ⅲ）依條件f(x)=

ax+b

x2+1

．因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以f（-x）+f（x）=0，代入求出b值，從而求出f（x）的表達(dá)式，然后利用放縮法進(jìn)行證明；

解答：解：（Ⅰ）依條件有f（x）=ax+b．
因?yàn)辄c(diǎn)（n，a_n）在函數(shù)f（x）=ax+b的圖象上，所以a_n=f（n）=an+b．
因?yàn)閍_n+1-a_n=a（n+1）+b-（an+b）=a，
所以a_n是首項(xiàng)是a₁=a+b，公差為d=a的等差數(shù)列．（1分）
所以Sn=n(a+b)+

n(n-1)

2

•a=nb+

n(n+1)

2

•a．
即數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和S_n=nb+

n(n+1)

2

•a．（2分）
（Ⅱ）證明：依條件有

(a+b)+2a=7 4(a+b)+ 4×3 2 •a=24

即

3a+b=7 10a+4b=24

解得

a=2 b=1

所以a_n=2n+1．
所以Sn=

n(a1+an)

2

=n2+2n．（3分）
因?yàn)?S_p+q-（S_2p+S_2q）=2[（p+q）²+2（p+q）]-（4p²+4p）-（4q²+4q）=-2（p-q）²，
又p≠q，所以2S_p+q-（S_2p+S_2q）＜0．
即Sp+q＜

1

2

(S2p+S2q)．（5分）
（Ⅲ）依條件f(x)=

ax+b

x2+1

．
因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以f（-x）+f（x）=0．
即

ax+b

x2+1

+

-ax+b

x2+1

=0．解得b=0．所以f(x)=

ax

x2+1

．
又f（1）=1，所以a=2．
故f(x)=

2x

x2+1

．（6分）
因?yàn)閤_n+1=f（x_n），所以xn+1=

2xn

x 2 n +1

．所以x1=

1

2

＞0時(shí)，有x_n+1＞0（n∈N^*）．
又xn+1=f(xn)=

2xn

x 2 n +1

≤

2xn

2xn

=1，
若x_n+1=1，則x_n=1．從而x₁=1．這與x1=

1

2

矛盾．
所以0＜x_n+1＜1．（8分）
所以xk+1-xk=xk(1-xk)•

1+xk

xk2+1

≤

1

4

•

1

xk+1+ 2 xk+1 -2

≤

1

4

•

1

2 2 -2

=

2 +1

8

．
所以

(xk-xk+1)2

xkxk+1

=

xk+1-xk

xkxk+1

(xk+1-xk)＜

2 +1

8

(

1

xk

-

1

xk+1

)．（10分）
所以

(x1-x2)2

x1x2

+

(x2-x3)2

x2x3

++

(xn+1-xn)2

xnxn+1

＜

2 +1

8

[(

1

x1

-

1

x2

)+(

1

x2

-

1

x3

)++(

1

xn

-

1

xn+1

)]=

2 +1

8

(

1

x1

-

1

xn+1

)=

2 +1

8

(2-

1

xn+1

)．（12分）
因?yàn)?span id="dpxtr39" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">x1=

1

2

，x_n+1＞x_n，所以

1

2

＜xn+1＜1．所以1＜

1

xn+1

＜2．
所以

(x1-x2)2

x1x2

+

(x2-x3)2

x2x3

++

(xn-xn+1)2

xnxn+1

＜

2 +1

8

(2-1)＜

3 2 +1

8

=

5

16

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題難度系數(shù)比較大，是數(shù)列與不等式的證明相結(jié)合，是高考中的壓軸題，也是一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，方法比較新穎，放縮不等式的時(shí)候技巧性比較強(qiáng)；