Question

3．已知從“神六”飛船帶回的某種植物種子每粒成功發(fā)芽的概率都為$\frac{1}{3}$，某植物研究所進(jìn)行該種子的發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，每次實(shí)驗(yàn)種一粒種子，每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立，假定某次實(shí)驗(yàn)種子發(fā)芽則稱該次實(shí)驗(yàn)是成功的，如果種子沒有發(fā)芽，則稱該次實(shí)驗(yàn)是失�。�若該研究所共進(jìn)行四次實(shí)驗(yàn)，設(shè)ξ表示四次實(shí)驗(yàn)結(jié)束時實(shí)驗(yàn)成功的次數(shù)與失敗的次數(shù)之差的絕對值．
（1）求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望E（ξ）；
（2）記“函數(shù)f（x）=x²-ξx-1在區(qū)間（2，3）上有且只有一個零點(diǎn)”為事件A，求事件A發(fā)生的概率P（A）．

Answer 1

分析 （1）推出ξ的可能取值為0，2，4．求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．
（2）利用零點(diǎn)判定定理，列出不等式推出結(jié)果即可．

解答 解：（1）由題意知：ξ的可能取值為0，2，4．
∵“ξ=0”指的是實(shí)驗(yàn)成功2次，
失敗2次；∴$P（{ξ=0}）=C_4^2{（{\frac{1}{3}}）^2}{（{1-\frac{1}{3}}）^2}=6×\frac{1}{9}×\frac{4}{9}=\frac{24}{81}$．…（2分）
∵“ξ=2”指的是實(shí)驗(yàn)成功3次，失敗1次或?qū)嶒?yàn)成功1次，失敗3次；$\begin{array}{l}∴P（{ξ=2}）=C_4^3{（{\frac{1}{3}}）^3}（{1-\frac{1}{3}}）+C_4^1（{\frac{1}{3}}）{（{1-\frac{1}{3}}）^3}\\ \;\;\;=4×\frac{1}{27}×\frac{2}{3}+4×\frac{1}{3}×\frac{8}{27}=\frac{40}{81}.\end{array}$…（4分）
∵“ξ=4”指的是實(shí)驗(yàn)成功4次，失敗0次或?qū)嶒?yàn)成功0次，失敗4次；
∴$P（{ξ=4}）=C_4^4{（{\frac{1}{3}}）^4}+C_4^0{（{1-\frac{1}{3}}）^4}=\frac{1}{81}+\frac{16}{81}=\frac{17}{81}$．…（6分）

ξ	0	2	4
P	$\frac{24}{81}$	$\frac{40}{81}$	$\frac{17}{81}$

∴$Eξ=0×\frac{24}{81}+2×\frac{40}{81}+4×\frac{17}{81}=\frac{148}{81}$．
故隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望E（ξ）為$\frac{148}{81}$．…（10分）
（2）由題意知：f（2）f（3）=（3-2ξ）（8-3ξ）＜0，故$\frac{3}{2}＜ξ＜\frac{8}{3}$．…（14分）
∴$P（A）=P（\frac{3}{2}＜ξ＜\frac{8}{3}）=P（ξ=2）=\frac{40}{81}$，故事件A發(fā)生的概率P（A）為$\frac{40}{81}$．…（16分）

點(diǎn)評 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，零點(diǎn)判定定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．