Question

20．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：①f（-x）=-f（x）；②f（2x）=af（x）（a＞0）；③當(dāng)2≤x≤4時，$f（x）=|sin\frac{π}{2}x|$，若分別以函數(shù)f（x）的極值點和相應(yīng)極值為橫、縱坐標(biāo)的點都在一條直線上，則a的值為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 1或2
• D． 2或3

Answer 1

分析 當(dāng)1≤x≤2時，對應(yīng)的點A₁（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{a}$）；當(dāng)2≤x≤4時，對應(yīng)的點A₂（3，1）；當(dāng)4≤x≤8時，對應(yīng)的點A₃（6，a），由三點共線，由斜率相等得a的值為1或2；
經(jīng)檢驗，即可得a的取值

解答 解：當(dāng)1≤x≤2時，2≤2x≤4，∴f（x）=$\frac{1}{a}f（2x）$=|$\frac{1}{a}sin（\frac{π}{2}•2x）$|=$\frac{1}{a}$|sinπx|，極值為f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{1}{a}$，對應(yīng)的點A₁（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{a}$）；
當(dāng)2≤x≤4時，$f（x）=|sin\frac{π}{2}x|$，極值為f（3）=1，對應(yīng)的點A₂（3，1）；
當(dāng)4≤x≤8時，f（x）=a|f（$\frac{x}{2}$）|=a|sin$\frac{π}{4}x$|，極值為f（6）=a，對應(yīng)的點A₃（6，a）；
…由此可得A_n（3•2^n-2，a^n-2）
∵分別以函數(shù)f（x）的極值點和相應(yīng)極值為橫、縱坐標(biāo)的點都在一條直線上，∴A₁，A₂，A₃三點共線，由斜率相等得a的值為1或2；
經(jīng)檢驗，當(dāng)a=1時，直線方程為y=1，由函數(shù)f（x）滿足f（-x）=-f（x），即為奇函數(shù)，故舍去；當(dāng)a=2時，直線為y=$\frac{1}{3}x$，符合題意．
故選：B．

點評 本題考查了函數(shù)的圖象、性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．