Question

已知0＜k＜4，直線l₁：kx-2y-2k+8=0和直線l：2x+k²y-4k²-4=0與兩坐標軸圍成一個四邊形，則使得這個四邊形面積最小的k值為

 

．

Answer 1

分析：先求出兩直線經(jīng)過的定點坐標，再求出直線與x 軸的交點，與y 軸的交點，得到所求的四邊形，利用四邊形的面積等于三角形ABD的面積和梯形 OCBD的面積之和，再應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)求出面積最小時的k 值．

解答：解：如圖所示：
直線l₁：kx-2y-2k+8=0 即k（x-2）-2y+8=0，過定點B（2，4），
與y 軸的交點C（0，4-k），
直線l：2x+k²y-4k²-4=0，即  2x-4+k² （y-4）=0，
過定點（2，4 ），與x 軸的交點A（2 k²+2，0），
由題意知，四邊形的面積等于三角形ABD的面積和梯形 OCBD的面積之和，
故所求四邊形的面積為

1

2

×4×（2 k²+2-2）+

2×(4-k+4)

2

=4k²-k+8，
∴k=

1

8

時，所求四邊形的面積最小，
故答案為

1

8

．

點評：本題考查直線過定點問題，二次函數(shù)的性質(zhì)得應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．