13.已知橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的焦點為F1,F(xiàn)2,若點P在橢圓上,且滿足|PO|2=|PF1|•|PF2|(其中O為坐標(biāo)原點),則稱點P為“*”點,則橢圓上的“*”點有4個.

分析 設(shè)出橢圓上的點P(x0,y0),利用焦半徑公式,表示出|PO|2=|PF1|•|PF2|,求出點的坐標(biāo),得出結(jié)論.

解答 解:設(shè)橢圓上的點P(x0,y0),則$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}=1$,y02=b2(1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$),
橢圓的第二定義可知:|PF1|=a-ex0,|PF2|=a+ex0,
因為|PO|2=|PF1|•|PF2|,則x02+y02=a2-e2x02,
則有x02+b2(1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$)=x02+y02,解得x0=±$\frac{\sqrt{2}a}{2}$,
因此滿足條件的有四個點,
故答案為:4.

點評 本題考查了橢圓的新定義問題,解題時應(yīng)利用焦半徑列出方程,求出點的坐標(biāo),是基礎(chǔ)題.

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