Question

已知二項式(

5	x

-

1

x

)n，其中n∈N，n≥3．
（1）若在展開式中，第4項是常數(shù)項，求n；
（2）設n≤2012，在其展開式，若存在連續(xù)三項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，問這樣的n共有多少個？

Answer 1

分析：（1）利用二項式的展開式求出第4項，通過x的指數(shù)為0，求出a的值．
（2）連續(xù)三項的二項式系數(shù)分別為

C

k-1 n

、

C

k n

、

C

k+1 n

（1≤k≤n-1），由題意2

C

k n

=

C

k-1 n

+

C

k+1 n

，化簡求解，利用n為自然數(shù)求出所有的n的個數(shù)．

解答：解：（1）∵T4=

C

3 n

(

5	x

)n-3(-

1

x

)3=

C

3 n

(-1)3x

n-18

5

為常數(shù)項，
∴

n-18

5

=0，即n=18；                                    …..（3分）
（2）連續(xù)三項的二項式系數(shù)分別為

C

k-1 n

、

C

k n

、

C

k+1 n

（1≤k≤n-1），
由題意2

C

k n

=

C

k-1 n

+

C

k+1 n

，
依組合數(shù)的定義展開并整理得n²-（4k+1）n+4k²-2=0，
故n1，2=

4k+1± 8k+9

2

，…..（6分）
則因為n為整數(shù)，并且8k+9是奇數(shù)，所以令8k+9=（2m+1）²⇒2k=m²+m-2，
代入整理得n1=(m+1)2-2，n2=m2-2，∵44²=1936，45²=2025，
故n的取值為44²-2，43²-2，…，3²-2，共42個．      …..（10分）

點評：本題考查二項式定理的展開式的應用，方程的思想的應用，考查計算能力．