Question

11．對于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定義：f″（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則稱點(diǎn)（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”．有機(jī)智的同學(xué)發(fā)現(xiàn)“任何三次函數(shù)都有‘拐點(diǎn)’；任何三次函數(shù)都有對稱中心，且‘拐點(diǎn)’就是對稱中心”．請你將這一機(jī)智的發(fā)現(xiàn)作為條件，求：
（1）函數(shù)f（x）=x³-3x²+3x+1的圖象對稱中心為（1，2）；
（2）若函數(shù)g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$+$\frac{2}{2x-1}$，則g（$\frac{1}{2016}$）+g（$\frac{2}{2016}$）+…+g（$\frac{2015}{2016}$）=2015．

Answer 1

分析 （1）先求f′（x）得解析式，再求f″（x），由f″（x）=0 求得拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式求拐點(diǎn)的縱坐標(biāo)
（2）由題意，將g（x）分解為兩個(gè)函數(shù)，分別求出它們的對稱中心，g（x）+g（1-x）=2，即可得到結(jié)論

解答 解：依題意，得：f′（x）=3x²-6x+3，∴f″（x）=6x-6．
由f″（x）=0，即6x-6=0．
∴x=1，
又 f（1）=2，
∴函數(shù)f（x）=x³-3x²+3x+1的圖象對稱中心為（1，2）；
（2）依題意，設(shè)h（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$，得：h′（x）=x²-x+3，∴h″（x）=2x-1
由h″（x）=0，即2x-1=0．
∴x=$\frac{1}{2}$，
又 h（$\frac{1}{2}$）=1，
∴函數(shù)h（x）對稱中心為（$\frac{1}{2}$，1）h（x）+h（1-x）=2
，；設(shè)m（x）=$\frac{2}{2x-1}$，它的對稱中心為（$\frac{1}{2}$，0），∴m（x）+m（1-x）=0
∴m（x）+m（1-x）=0
∵g（x）=h（x）+m（x）
∴g（x）+g（1-x）=h（x）+h（1-x）+m（x）+m（1-x）=2
所以g（$\frac{1}{2016}$）+g（$\frac{2}{2016}$）+…+g（$\frac{2015}{2016}$）=2015；
故答案為：（1，2）；2015．

點(diǎn)評 本題考查一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)的求法，函數(shù)的拐點(diǎn)的定義以及函數(shù)圖象關(guān)于某點(diǎn)對稱的條件．