Question

14．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知?jiǎng)又本�y=k（x+1）與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)．
①若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-$\frac{1}{2}$，求斜率k的值；
②若點(diǎn)M（-$\frac{11}{8}$，0），求證：$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)橢圓的離心率，三角形的面積及橢圓幾何量之間的關(guān)系，建立等式，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）①直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-$\frac{1}{2}$，即可求斜率k的值；
②利用韋達(dá)定理，及向量的數(shù)量積公式，計(jì)算即可證得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：因?yàn)?\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）滿足a²=b²+c²，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，…（2分）
根據(jù)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為$\sqrt{3}$，可得bc=$\sqrt{3}$．
從而可解得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
所以橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$…（4分）
（Ⅱ）證明：①將y=k（x+1）代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$中，消元得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0…（6分）
令A(yù)（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由韋達(dá)定理可得x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$…（7分）
因?yàn)锳B中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-$\frac{1}{2}$，所以-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=-1，解得k=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$…（9分）
②y₁y₂=k²x₁x₂+k²（x₁+x₂）+k²，
所以$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（1+k²）x₁x₂+（k²+$\frac{11}{8}$）（x₁+x₂）+$\frac{121}{64}$+k²
=（1+k²）•$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+（k²+$\frac{11}{8}$）（-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$）+$\frac{121}{64}$+k²
=-$\frac{135}{64}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性強(qiáng)．