Question

已知函數(shù)f（x）定義域?yàn)閇-1，1]，若對于任意的x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，有f（x）＞0．
（1）證明：f（x）為奇函數(shù)；
（2）證明：f（x）在[-1，1]上為單調(diào)遞增函數(shù)；
（3）設(shè)f（1）=1，若f（x）＜m²-2am+1，對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）令x=y=0，∴f（0）=0，
令y=-x，f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)
（2）∵f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)；
令-1≤x₁＜x₂≤1，
則有f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x）在[-1，1]上為單調(diào)遞增函數(shù)；
（3）f（x）在[-1，1]上為單調(diào)遞增函數(shù)，f（x）_max=f（1）=1，使f（x）＜m²-2am+1對所有
x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，只要m²-2am+1＞1，即m²-2am＞0
令g（a）=m²-2am=-2am+m²，
要使g（a）＞0恒成立，則，
∴m∈（-∞，-2）∪（2，+∞）；
分析：（1）先利用特殊值法，求證f（0）=0，令y=-x即可求證；
（2）由（1）得f（x）為奇函數(shù)，f（-x）=-f（x），利用定義法進(jìn)行證明；
（3）由題意f（x）＜m²-2am+1，對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，只要f（x）的最大值小于m²-2am+1即可，從而求出m的范圍；
點(diǎn)評：考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)值不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，在轉(zhuǎn)化過程中一定注意函數(shù)的定義域．