Question

過(guò)點(diǎn)P（2，-2）和曲線(xiàn)y=3x-x³相切的直線(xiàn)方程為_(kāi)_____．

Answer 1

設(shè)直線(xiàn)l：y+2=k（x-2）．∵y′=3-3x²，∴y′|_x=2=-9，
又∵直線(xiàn)與曲線(xiàn)均過(guò)點(diǎn)（2，-2），于是直線(xiàn)y+2=k（x-2）與曲線(xiàn)y=3x-x³相切于切點(diǎn)（2，-2）時(shí)，k=-9．
若直線(xiàn)與曲線(xiàn)切于點(diǎn)（x₀，y₀）（x₀≠2），則k=

y0+2

x0-2

，∵y₀=3x₀-x₀³，
∴

y0+2

x0-2

=-x₀²-2x₀-1，
又∵k=y′|x=x₀=3-3x₀²，
∴-x₀²-2x₀-1=3-3x₀²，∴2x₀²-2x₀-4=0，
∵x₀≠2，∴x₀=-1，∴k=3-3x₀²=0，
故直線(xiàn)l的方程為9x+y-16=0或y=-2．
故答案為：9x+y-16=0或y=-2．