Question

過點(diǎn)P（2，-2）和曲線y=3x-x³相切的直線方程為________．

Answer 1

9x+y-16=0或y=-2
分析：先考慮點(diǎn)（2，-2）是切點(diǎn)的情形，求出切線方程，然后設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），根據(jù)切點(diǎn)與點(diǎn)（2，-2）的斜率等于切線的斜率建立等量關(guān)系，解之即可求出切點(diǎn)，從而求出切線方程．
解答：設(shè)直線l：y+2=k（x-2）．∵y′=3-3x²，∴y′|_x=2=-9，
又∵直線與曲線均過點(diǎn)（2，-2），于是直線y+2=k（x-2）與曲線y=3x-x³相切于切點(diǎn)（2，-2）時(shí)，k=-9．
若直線與曲線切于點(diǎn)（x₀，y₀）（x₀≠2），則k=，∵y₀=3x₀-x₀³，
∴=-x₀²-2x₀-1，
又∵k=y′|x=x₀=3-3x₀²，
∴-x₀²-2x₀-1=3-3x₀²，∴2x₀²-2x₀-4=0，
∵x₀≠2，∴x₀=-1，∴k=3-3x₀²=0，
故直線l的方程為9x+y-16=0或y=-2．
故答案為：9x+y-16=0或y=-2．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，解題的關(guān)鍵注意過某點(diǎn)和在某點(diǎn)的區(qū)別，屬于中檔題．