Question

7．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+{2}^{x}，x≤0}\\{\frac{x}{a}-lnx，x＞0}\end{array}\right.$，在其定義域上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)a的值為e．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)圖象可知f（x）在（-∞，0]上有1個(gè)零點(diǎn)，故f（x）在（0，+∞）上有1個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出a即可．

解答 解：當(dāng)x≤0時(shí)，令f（x）=0得2^x=-x，
作出y=2^x與y=-x的函數(shù)圖形如圖所示：

由圖象可知f（x）在（-∞，0]上有唯一一個(gè)零點(diǎn)．
∵f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，
∴f（x）在（0，+∞）上有唯一一個(gè)零點(diǎn)．

∴直線y=$\frac{x}{a}$與曲線y=lnx相切，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=\frac{{x}_{0}}{a}}\\{{y}_{0}=ln{x}_{0}}\\{\frac{1}{{x}_{0}}=\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=e}\\{{y}_{0}=1}\\{a=e}\end{array}\right.$．
故答案為：e．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．