Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sin\frac{πx}{2}（x≤0）}\\{f（x-2）+2（x＞0）}\end{array}\right.$，把方程f（x）-x=0的實(shí)數(shù)解按從小到大的順序排列成一個(gè)數(shù)列$\left\{{a_n}\right\}（n∈{N^*}）$，設(shè)$h（x）=x+{log_2}\frac{2+x}{8-x}$，則數(shù)列{h（a_n）}的各項(xiàng)之和為（　�。�

• A． 36
• B． 33
• C． 30
• D． 27

Answer 1

分析 方程f（x）-x=0的實(shí)數(shù)解可化為函數(shù)f（x）與函數(shù)y=x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作函數(shù)f（x）與函數(shù)y=x的圖象，結(jié)合圖象及$h（x）=x+{log_2}\frac{2+x}{8-x}$的定義域可得數(shù)列{h（a_n）}中a_n僅可以取-1，0，1，2，3，4，5，6，7；又由h（x）+h（6-x）=$（x+{log_2}\frac{2+x}{8-x}）$$+（6-x+{log_2}\frac{8-x}{2+x}）$=6，從而解得．

解答 解：方程f（x）-x=0的實(shí)數(shù)解可化為函數(shù)f（x）與函數(shù)y=x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
作函數(shù)f（x）與函數(shù)y=x的圖象如下，

結(jié)合圖象可得，
a_n=n-2；
又∵$h（x）=x+{log_2}\frac{2+x}{8-x}$的定義域?yàn)椋?2，8），
∴數(shù)列{h（a_n）}中a_n僅可以取-1，0，1，2，3，4，5，6，7；
又∵h(yuǎn)（x）+h（6-x）=$（x+{log_2}\frac{2+x}{8-x}）$$+（6-x+{log_2}\frac{8-x}{2+x}）$=6，
且$h（3）=3+{log_2}\frac{2+3}{8-3}=3$，
∴h（-1）+h（0）+h（1）+h（2）+h（3）+h（4）+h（5）+h（6）+h（7）
=（h（-1）+h（7））+（h（0）+h（6））+（h（1）+h（5））+（h（2）+h（4））+h（3）
=6×4+3=27．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了函數(shù)與數(shù)列的綜合應(yīng)用，屬于難題．