Question

用半徑為R的圓形鐵皮剪出一個(gè)圓心角為α的扇形，制成一個(gè)圓錐形容器，求：扇形的圓心角多大時(shí)，容器的容積最大？并求出此時(shí)容器的最大容積．

Answer 1

分析：設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，體積為V，求出r²+h²=R²，表示出體積表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，得到結(jié)果．

解答：解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，體積為V，那么r²+h²=R²，
因此，V=

1

3

πr2h
=

1

3

π(R2-h2)h=

1

3

πR2h-

1

3

πh3(0＜h＜R)．…（3分）
V′=

1

3

πR2-πh2．
令V'=0，即

1

3

πR2-πh2=0，得 h=

3

3

R．…（5分）
當(dāng) 0＜h＜

3

3

R時(shí)，V'＞0．
當(dāng)

3

3

R＜h＜R時(shí)，V'＜0．
所以，h=

3

3

R時(shí)，V取得極大值，并且這個(gè)極大值是最大值．…（8分）
把 h=

3

3

R代入r²+h²=R²，得 r=

6

3

R．
由Rα=2πr，得 α=

2 6

3

π
答：圓心角α為

2 6

3

π弧度時(shí)，漏斗容積最大．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐與扇形展開(kāi)圖的關(guān)系，體積的計(jì)算，考查計(jì)算能力，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是建立起體積的函數(shù)模型，理解函數(shù)的單調(diào)性與最值的關(guān)系是解本題的重點(diǎn)