Question

用半徑為R的圓形鐵皮剪出一個(gè)圓心角為α的扇形，制成一個(gè)圓錐形容器，求：扇形的圓心角多大時(shí)，容器的容積最大？并求出此時(shí)容器的最大容積．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，體積為V，求出r²+h²=R²，表示出體積表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，得到結(jié)果．
解答：解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，體積為V，那么r²+h²=R²，
因此，
==．…（3分）
．
令V'=0，即 ，得 ．…（5分）
當(dāng) 時(shí)，V'＞0．
當(dāng) 時(shí)，V'＜0．
所以，時(shí)，V取得極大值，并且這個(gè)極大值是最大值．…（8分）
把 代入r²+h²=R²，得 ．
由Rα=2πr，得
答：圓心角α為 弧度時(shí)，漏斗容積最大．…（12分）
點(diǎn)評：本題考查圓錐與扇形展開圖的關(guān)系，體積的計(jì)算，考查計(jì)算能力，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是建立起體積的函數(shù)模型，理解函數(shù)的單調(diào)性與最值的關(guān)系是解本題的重點(diǎn)