Question

18．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且向量$\overrightarrow{m}$=（5a-4c，4b）與向量$\overrightarrow{n}$=（cosC，cosB）共線
（Ⅰ）求cosB；
（Ⅱ）若b=$\sqrt{10}$，c=5，a＜c，且$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{DC}$，求BD的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)向量共線列出方程，使用和角公式化簡(jiǎn)即可得出cosB；
（Ⅱ）使用正弦定理求出C，A，利用余弦定理解出BD．

解答 解：（I）∵$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$共線，
∴（5a-4c）cosB-4bcosC=0．即5sinAcosB=4sinCcosB+4sinBcosC=4sin（B+C）=4sinA．
∵sinA≠0，
∴cosB=$\frac{4}{5}$．
（II）在△ABC中，由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{4}{5}$．
即$\frac{{a}^{2}+15}{10a}=\frac{4}{5}$，解得a=3或a=5（舍）．
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{13\sqrt{10}}{50}$．
∵$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{DC}$，∴AD=$\frac{2}{3}$b=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$．
在△ABD中，由余弦定理BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cosA=$\frac{109}{9}$．
∴BD=$\frac{\sqrt{109}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，解三角形，屬于中檔題．