Question

8．正項數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足：S_n²-（n²+n-1）S_n-（n²+n）=0
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）令b_n=$\frac{n+1}{（n+2）^{2}{a}_{n}^{2}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n，證明：對于任意的n∈N^*，都有T_n$＜\frac{5}{64}$．

Answer 1

分析 （1）因式分解可得（S_n-（n²+n））（S_n+1）=0，從而求得S_n=n²+n，從而判斷出{a_n}為等差數(shù)列，從而解得；
（2）裂項b_n=$\frac{n+1}{4{n}^{2}（n+2）^{2}}$=$\frac{1}{16}$（$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$），從而求其前n項和前證明不等式即可．

解答 解：（1）∵S_n²-（n²+n-1）S_n-（n²+n）=0，
∴（S_n-（n²+n））（S_n+1）=0，
∴S_n=n²+n，或S_n=-1（舍去），
故正項數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
其中a₁=1+1=2，a₂=S₂-S₁=4，
故a_n=2+2（n-1）=2n；
（2）∵b_n=$\frac{n+1}{4{n}^{2}（n+2）^{2}}$=$\frac{1}{16}$（$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$），
∴T_n=$\frac{1}{16}$（1-$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{25}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$）
=$\frac{1}{16}$（1+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$）
=$\frac{5}{64}$-$\frac{1}{16}$（$\frac{1}{（n+1）^{2}}$+$\frac{1}{（n+2）^{2}}$）；
故T_n＜$\frac{5}{64}$．

點評 本題考查了方程的解法與裂項求和法的應(yīng)用，同時考查了學生的化簡運算能力．