【題目】已知函數(shù) . (Ⅰ)若a=1,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求a的取值范圍;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,設(shè)函數(shù) ,若在[1,e]上至少存在一點(diǎn)x0 , 使得f(x0)≥g(x0)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),函數(shù) ,
∴f(1)=1﹣1﹣ln1=0. ,
曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率為f'(1)=1+1﹣1=1.
從而曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y﹣0=x﹣1,
即y=x﹣1.
(Ⅱ) .
要使f(x)在定義域(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù),只需f′(x)≥0在(0,+∞)內(nèi)恒成立.
即:ax2﹣x+a≥0得: 恒成立.
由于 ,
∴ ,
∴
∴f(x)在(0,+∞)內(nèi)為增函數(shù),實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
(III)∵ 在[1,e]上是減函數(shù)
∴x=e時(shí),g(x)min=1,x=1時(shí),g(x)max=e,即g(x)∈[1,e]
f'(x)= 令h(x)=ax2﹣x+a
當(dāng) 時(shí),由(II)知f(x)在[1,e]上是增函數(shù),f(1)=0<1
又 在[1,e]上是減函數(shù),故只需f(x)max≥g(x)min,x∈[1,e]
而f(x)max=f(e)= ,g(x)min=1,即)= ≥1
解得a≥
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[ ,+∞)
【解析】(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求出切點(diǎn)坐標(biāo),然后求出f'(x),從而求出f'(1)的值即為切線的斜率,利用點(diǎn)斜式可求出切線方程;(Ⅱ)先求導(dǎo)函數(shù),要使f(x)在定義域(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù),只需f′(x)≥0在(0,+∞)內(nèi)恒成立,然后將a分離,利用基本不等式可求出a的取值范圍;(III)根據(jù)g(x)在[1,e]上的單調(diào)性求出其值域,然后根據(jù)(II)可求出f(x)的最大值,要使在[1,e]上至少存在一點(diǎn)x0,使得f(x0)≥g(x0)成立,只需f(x)max≥g(x)min,x∈[1,e],然后建立不等式,解之即可求出a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) , . 在 上有最大值9,最小值4.
(1)求實(shí)數(shù) 的值;
(2)若不等式 在 上恒成立,求實(shí)數(shù) 的取值范圍;
(3)若方程 有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
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【題目】一個(gè)幾何體,它的下面是一個(gè)圓柱,上面是一個(gè)圓錐,并且圓錐的底面與圓柱的上底面重合,圓柱的底面直徑為3 cm,高為4 cm,圓錐的高為3 cm,畫出此幾何體的直觀圖.
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【題目】雙曲線 ﹣ =1(a>0,b>0)上任意一點(diǎn)P可向圓x2+y2=( )2作切線PA,PB,若存在點(diǎn)P使得 =0,則雙曲線的離心率的取值范圍是( )
A.[ ,+∞)
B.(1, ]
C.[ , )
D.(1, )
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【題目】設(shè)命題p:實(shí)數(shù)x滿足(x﹣a)(x﹣3a)<0,其中a>0,命題q:實(shí)數(shù)x滿足 2<x≤3.
(1)若a=1,有p且q為真,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.
(2)若p是q的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知 為△ 所在平面外一點(diǎn),且 , , 兩兩垂直,則下列結(jié)論:① ;② ;③ ;④ .其中正確的是( )
A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①②③④
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【題目】已知函數(shù)f(x)=(x﹣1)2+a(lnx﹣x+1)(其中a∈R,且a為常數(shù)) (Ⅰ)當(dāng)a=4時(shí),求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若對(duì)于任意的x∈(1,+∞),都有f(x)>0成立,求a的取值范圍;
(Ⅲ)若方程f(x)+a+1=0在x∈(1,2)上有且只有一個(gè)實(shí)根,求a的取值范圍.
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【題目】若不等式[2tx2﹣(t2﹣1)x+2]lnx≤0對(duì)任意x∈(0,+∞)恒成立,則實(shí)數(shù)t的值是 .
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【題目】f(x)=Acos(ωx+φ)(A,ω>0)的圖象如圖所示,為得到g(x)=﹣Asin(ωx+ )的圖象,可以將f(x)的圖象( )
A.向右平移 個(gè)單位長度
B.向右平移 個(gè)單位長度
C.向左平移 個(gè)單位長度
D.向左平移 個(gè)單位長度
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