Question

如圖，在南北方向有一條公路，一半徑為100m的圓形廣場(chǎng)（圓心為O）與此公路一邊所在直線l相切于點(diǎn)A．點(diǎn)P為北半圓�。ɑ�APB）上的一點(diǎn)，過P作直線l的垂線，垂足為Q．計(jì)劃在△PAQ內(nèi)（圖中陰影部分）進(jìn)行綠化．設(shè)△PAQ的面積為S（單位：m²）．
（1）設(shè)∠BOP=α（rad），將S表示為α的函數(shù)；
（2）確定點(diǎn)P的位置，使綠化面積最大，并求出最大面積．

Answer 1

分析：（1）若∠BOP=α，則P點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）中，x=AQ=100sinα，y=PQ=100+100cosα，α∈（0，π），根據(jù)三角形面積公式，我們易將S表示為α的函數(shù)．
（2）由（1）中結(jié)論，我們可利用導(dǎo)數(shù)法，判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的最大值，即最大綠化面積．

解答：解：（1）AQ=100sinα，PQ=100+100cosα，α∈（0，π），
則△PAQ的面積S=

1

2

AQ•PQ=

1

2

×100sinα×(100+100cosα)
=5000（sinα+sinαcosα），（0＜α＜π）．
（2）S^/=5000（cosα+cos²α-sin²α）
=5000（2cos²α+cosα-1）
=5000（2cosα-1）（cosα+1），
令S/=0，得cosα=

1

2

，cosα=-1（舍去），此時(shí)α=

π

3

．
當(dāng)0＜α＜

π

3

時(shí)，

1

2

＜cosα＜1，S/＞0，S關(guān)于α為增函數(shù)；
當(dāng)

π

3

＜α＜π時(shí)，-1＜cosα＜

1

2

，S/＜0，S關(guān)于α為減函數(shù)．
∴當(dāng)α=

π

3

時(shí)，Smax=3750

3

（m²），此時(shí)PQ=150m．
答：當(dāng)點(diǎn)P距公路邊界l為150m時(shí)，綠化面積最大，Smax=3750

3

m2.

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)的模型，及利用導(dǎo)數(shù)計(jì)算，閉區(qū)間上函數(shù)的最值．在構(gòu)造函數(shù)時(shí)，一定要根據(jù)P為北半圓弧（弧APB）上的一點(diǎn)，限制0＜α＜π，這是本題中易忽略的點(diǎn)．