Question

12．已知數(shù)列{a_n}，其中a₁=1，a₂=2，a_n+1=pa_n（p≠0，n≥2），求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 由數(shù)列遞推式分p=2和p≠2討論，當(dāng)p=2時，數(shù)列{a_n}是以a₁=1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，當(dāng)p≠2時，數(shù)列{a_n}從第二項起構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，由此可得數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答 解：由a₂=2≠0，且a_n+1=pa_n（n≥2），
得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=p$，
當(dāng)p=2時，數(shù)列{a_n}是以a₁=1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則${a}_{n}={2}^{n-1}$；
當(dāng)p≠2時，數(shù)列{a_n}從第二項起構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，
則當(dāng)n≥2時，${a}_{n}=2{p}^{n-2}$，
驗證n=1時上式不成立．
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2{p}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等比數(shù)列通項公式的求法，是中檔題．