Question

4．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c．
（1）若f（-1）=0，f（0）=0，求出函數(shù)f（x）的零點；
（2）若f（x）同時滿足下列條件：①當(dāng)x=-1時，函數(shù)f（x）有最小值0，②f（1）=1求函數(shù)f（x）的解析式；
（3）若f（1）≠f（3），證明方程f（x）=$\frac{1}{2}$[f（1）+f（3）]必有一個實數(shù)根屬于區(qū)間（1，3）

Answer 1

分析 （1）由f（-1）=0，f（0）=0得a=b；從而化簡f（x）=ax（x+1）；從而確定零點；
（2）由條件化簡可得方程$\left\{\begin{array}{l}a+b+c=1\\ b=2a\\ a=c\end{array}\right.$，從而解得；
（3）令$g（x）=f（x）-\frac{1}{2}[f（1）+f（3）]$，從而可判斷$g（1）•g（3）=-\frac{1}{4}{[f（1）-f（3）]^2}＜0$，從而證明．

解答 解：（1）∵f（-1）=0，f（0）=0，
∴a=b；
∴f（x）=ax（x+1）；
∴函數(shù)f（x）的零點是0和-1．
（2）由條件①得：$-\frac{2a}=-1，\frac{{4ac-{b^2}}}{4a}=0$，a＞0；
∴b=2a，b²=4ac，
∴4a²=4ac，
∴a=c；
由條件②知：a+b+c=1，
由$\left\{\begin{array}{l}a+b+c=1\\ b=2a\\ a=c\end{array}\right.$解得，
$a=c=\frac{1}{4}，b=\frac{1}{2}$．
∴$f（x）=\frac{1}{4}{x^2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}{（x+1）^2}$．
（3）證明：令$g（x）=f（x）-\frac{1}{2}[f（1）+f（3）]$，
則$g（1）=f（1）-\frac{1}{2}[f（1）+f（3）]=\frac{1}{2}[f（1）-f（3）]$，
$g（3）=f（3）-\frac{1}{2}[f（1）+f（3）]=\frac{1}{2}[f（3）-f（1）]$，
∴$g（1）•g（3）=-\frac{1}{4}{[f（1）-f（3）]^2}＜0$，
∴g（x）=0在（1，3）內(nèi)必有一個實根，
即方程$f（x）=\frac{1}{2}[f（1）+f（3）]$必有一個實數(shù)根屬于（1，3）．

點評 本題考查了函數(shù)零點的判斷與函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．