Question

12．已知圓C：（x-1）²+（y-1）²=9，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
（1）若m=0，求直線被圓C截得的弦長；
（2）證明：不論m取什么實數(shù)，直線l與圓恒交于兩點．

Answer 1

分析 （1）由條件利用點到直線的距離公式求得弦心距，再利用弦長公式求得直線被圓C截得的弦長．
（2）根據(jù)直線l經(jīng)過定點M，而點M在圓的內(nèi)部，可得直線l與圓恒交于兩點．

解答 解：（1）若m=0，則直線l：x+y-4=0，求得弦心距d=$\frac{|1+1-4|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，而半徑r=3，
故弦長為2$\sqrt{{r}^{2}{-d}^{2}}$=2$\sqrt{7}$．
（2）直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，即 x+y-4+m（2x+y-7）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{2x+y-7=0}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，可得直線l經(jīng)過定點M（3，1）．
而點M（3，1）到圓心C（1，1）的距離為2，小于半徑3，故點M在圓C的內(nèi)部，故直線l與圓恒交于兩點．

點評 本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，點到直線的距離公式、弦長公式的應用，直線經(jīng)過定點問題，屬于基礎題．