Question

（2009•河?xùn)|區(qū)二模）已知一個(gè)正四棱錐的底面是一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體的某個(gè)面，且這個(gè)正四棱錐與正方體有相同的全面積，則這個(gè)正四棱錐的側(cè)棱與底面所成角的余弦值為

13

13

．

Answer 1

分析：由題意可得買(mǎi)這個(gè)正四棱錐的全面積為6，設(shè)這個(gè)正四棱錐的斜高為h，則1+4×（

1

2

×1×h）=6，解得h的值，可得側(cè)棱長(zhǎng)為PC=

h2+( 1 2 )2

的值．再根據(jù)側(cè)棱與底面所成角的余弦值為 cosθ=

OC

PC

，運(yùn)算求得結(jié)果．

解答：解：由題意可得買(mǎi)這個(gè)正四棱錐的全面積為6，如圖所示，PO⊥平面ABCD．
設(shè)這個(gè)正四棱錐的斜高為h，則1+4×（

1

2

×1×h）=6，解得 h=

5

2

，
∴側(cè)棱長(zhǎng)為PC=

h2+( 1 2 )2

=

26

2

，
這個(gè)正四棱錐 的側(cè)棱與底面所成角的余弦值為 cosθ=

OC

PC

=

2 2

26 2

=

13

13

，
故答案為

13

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)和平面所成的角的定義和求法，直角三角形中的邊角關(guān)系，屬于中檔題．