已知：函數(shù)f(x)=ax+
b
x
+c（a、b、c是常數(shù)）是奇函數(shù)，且滿足f(1)=
5
2
，f(2)=
17
4
，
（Ⅰ）求a、b、c的值；
（Ⅱ）試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間(0，
1
2
)上的單調(diào)性并證明．
分析：（1）由函數(shù)是奇函數(shù)得到c=0，再利用題中的2個等式求出a、b的值．
（2）區(qū)間(0，
1
2
)上任取2個自變量x1、x2，將對應(yīng)的函數(shù)值作差、變形到因式積的形式，判斷符號，
依據(jù)單調(diào)性的定義做出結(jié)論．
解答：解：（1）∵f（-x）=-f（x）∴c=0∵
f(1)=
5
2
f(2)=
17
4

∴
a+b=
5
2
2a+
b
2
=
17
4
∴
a=2
b=
1
2

（2）∵由（1）問可得f(x)=2x+
1
2x

∴f(x)=2x+
1
2x
在區(qū)間（0，0.5）上是單調(diào)遞減的
證明：設(shè)任意的兩個實數(shù)0＜x1＜x2＜
1
2

∵f(x1)-f(x2)=2(x1-x2)+
1
2x1
-
1
2x2
=2(x1-x2)+
(x2-x1)
2x1x2

=
(x2-x1)(1-4x1x2)
2x1x2

又∵0＜x1＜x2＜
1
2

∴x1-x2＜00＜x1x2＜
1
4
，1-4x1x2＞0f（x1）-f（x2）＞0
∴f(x)=2x+
1
2x
在區(qū)間（0，0.5）上是單調(diào)遞減的．
點評：本題考查用待定系數(shù)法求解析式，證明函數(shù)的單調(diào)性．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知x0函數(shù)f(x)=(
1
3
)x-log2x的零點，若0＜x1＜x0，則f（x1）的值為（　�。�
A、恒為負值B、等于0
C、恒為正值D、不大于0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：函數(shù)f(x)=
x2+4x
，
（1）求：函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并說明理由；
（3）判斷函數(shù)f（x）在（-∞，-2）上的單調(diào)性，并用定義加以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知冪函數(shù)f(x)=x-m2+2m+3（m∈Z）為偶函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，則m=
1
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

．已知冪函數(shù)f(x)=xk2-2k-3(k∈N*)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)，
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若a＞k，比較（lna）0.7與（lna）0.6的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知奇函數(shù)f(x)=
-x2+2x   (x＞0)
0
                (x=0)
x2+mx
     (x＜0)
，則m=（　　）

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