Question

設b＞0，數列{a_n}滿足a₁=b，a_n=（n≥2）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）證明：對于一切正整數n，a_n≤+1．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先要根據條件變形遞推公式得：，然后通過換元的方法分析得數列是等比數列，其中．從而可以求得數列{b_n}的通項公式，進而即可求得數列{a_n}的通項公式；
（2）首先要利用基本不等式獲得b²ⁿ+b^2n-1•2+…+bⁿ⁺¹•2^n-1+b^n-1•2ⁿ⁺¹+…+b•2^2n-1+2²ⁿ≥n•2ⁿ⁺¹•bⁿ，然后對數列{a_n}的通項公式變形然后利用所獲得的不等式放縮化簡即可獲得問題的解答．
解答：解：（1）由題意知：
，
∴，
設，則
設，則，
當b=2時，，
∴為首項是，公差是的等差數列．
∴a_n=2．
當b≠2時，
令，∴，
∴，
∴是等比數列．
∴，
又∵，
∴，
∴．
綜上可知：
當b=2時，a_n=2．
當b≠2時，
（2）當b=2時，由（1）知命題顯然成立；
當b≠2時，
∵
…

將以上n個式子相加得：
b²ⁿ+b^2n-1•2+…+bⁿ⁺¹•2^n-1+b^n-1•2ⁿ⁺¹+…+b•2^2n-1+2²ⁿ＞n•2ⁿ⁺¹•bⁿ
∴

=
=
=．
綜上可知：
．
點評：本題考查的是數列的遞推公式問題．在解答的過程當中充分體現了轉化的思想、換元的思想、基本不等式的利用以及放縮法．值得同學們體會和反思．