Question

如圖，某工廠生產的一種無蓋紙筒為圓錐形，現(xiàn)一客戶訂制該圓錐紙筒，并要求該圓錐紙筒的容積為π立方分米．設圓錐紙筒底面半徑為r分米，高為h分米．
（1）求出r與h滿足的關系式；
（2）工廠要求制作該紙筒的材料最省，求最省時

h

r

的值．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,函數解析式的求解及常用方法

專題：導數的綜合應用

分析：（1）設圓錐紙筒的容積為V，則V=

1

3

πr2h，由該圓錐紙筒的容積為π，利用π=

1

3

πr2h，即可得出；
（2）工廠要求制作該紙筒的材料最省，即所用材料的面積最小，即要該圓錐的側面積最小，設該紙筒的側面積為S，則S=πrl，其中l(wèi)為圓錐的母線長，且l=

r2+h2

，S=πr

r2+h2

=π

( 3 h +h2)× 3 h

（h＞0），設f（h）=(

3

h

+h2)×

3

h

=

9

h2

+3h （h＞0 ），利用導數研究其單調性即可得出．

解答： 解：（1）設圓錐紙筒的容積為V，則V=

1

3

πr2h，
由該圓錐紙筒的容積為π，則π=

1

3

πr2h，即r²h=3，
故r與h滿足的關系式為r²h=3；
（2）工廠要求制作該紙筒的材料最省，即所用材料的面積最小，即要該圓錐的側面積最小，
設該紙筒的側面積為S，則S=πrl，其中l(wèi)為圓錐的母線長，且l=

r2+h2

，
∴S=πr

r2+h2

=π

( 3 h +h2)× 3 h

（h＞0），
設f（h）=(

3

h

+h2)×

3

h

=

9

h2

+3h （h＞0 ），
由f′(h)=-

18

h3

+3=0，解得h=

3	6

，
當0＜h＜

3	6

時，f′（h）＜0；當h＞

3	6

時，f′（h）＞0；
因此，h=

3	6

時f（h）取得極小值，且是最小值，此時S=π

f(h)

亦最��；
由r²h=3得

h

r

=

h2 r2

=

h3 3

=

2

，
∴最省時

h

r

的值為

2

．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、圓錐的體積與側面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．