在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,∠ABC=
π
2
,AB=BC=
1
2
AD=2,PA=PB=PC=2.
(1)證明:CD⊥平面PAC;
(2)若E為PC的中點(diǎn),直線PB與平面AED交于點(diǎn)F,求三棱錐P-AEF的體積.
考點(diǎn):棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定
專題:綜合題,空間位置關(guān)系與距離
分析:(1)設(shè)AC的中點(diǎn)為O,連接PO、OB,證明PO⊥CD,AC⊥CD,即可證明:CD⊥平面PAC;
(2)利用VP-AEF=VA-PEF=
1
4
VA-PBC
=
1
4
VP-ABC=
1
4
×
1
3
×S△ABC×PO,即可求三棱錐P-AEF的體積.
解答: (1)證明:設(shè)AC的中點(diǎn)為O,連接PO、OB,
∵PA=PC,∴PO⊥AC,
∵在Rt△ABC中,AB=AC,∴OA=OB=OC,
∵PA=PB=PC,∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC,
∴PO⊥OB,由AC與OB相交可知PO⊥平面ABC,
∴PO⊥CD.
在直角梯形ABCD中,AC=CD=2
2
,
∴AC2+CD2=AD2,
∴AC⊥CD
∵AC∩PO=O,
∴CD⊥平面PAC;
(2)解:∵AD∥BC,BC?平面ADE,AD?平面ADE,
∴BC∥平面ADE,
∵BC?平面PBC,平面BC∩平面ADE=EF,
∴BC∥EF,
∵E為PC的中點(diǎn),
∴EF平行且等于
1
2
BC,
∴VP-AEF=VA-PEF=
1
4
VA-PBC
=
1
4
VP-ABC=
1
4
×
1
3
×S△ABC×PO.
在△ABC中,AB=BC=2,AB⊥BC,∴S△ABC=
1
2
×2×2
=2.
∵AC=2
2
,
∵PA=PC=2,O為AC中點(diǎn),
∴在△POC中,PO=
PC2-OC2
=
2
,
∴VP-AEF=
1
4
×
1
3
×2×
2
=
2
6
點(diǎn)評(píng):本題考查線面垂直,考查三棱錐P-AEF的體積,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中等題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

把一枚硬幣連續(xù)拋擲3次,至少有一次正面向上的概率是( 。
A、
1
8
B、
3
8
C、
5
8
D、
7
8

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖甲,⊙O的直徑AB=2,圓上兩點(diǎn)C,D在直徑AB的兩側(cè),且∠CBA=∠DAB=
π
3
.沿直徑AB折起,使兩個(gè)半圓所在的平面互相垂直(如圖乙),F(xiàn)為BC的中點(diǎn),E為AO的中點(diǎn).

根據(jù)圖乙解答下列各題:
(Ⅰ)求證:CB⊥DE;
(Ⅱ)求三棱錐C-BOD的體積;
(Ⅲ)在劣弧
BD
上是否存在一點(diǎn)G,使得FG∥平面ACD?若存在,試確定點(diǎn)G的位置;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

過棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AD、CD、A1B1的中點(diǎn)E、F、G作截面,求:
(1)棱錐C-EFG的體積;
(2)點(diǎn)C到平面EFG的距離;
(3)直線B1C到平面EFG的距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知y=2x2+mx+5的值恒為正,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

求函數(shù)y=log22x+2log2x+5的單調(diào)區(qū)間.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

直線a,b,c兩兩相交,交點(diǎn)分別為A、B、C,判斷這三條直線是否共面.并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在如圖所示的組合體中,三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面ABB1A1是圓柱的軸截面,C是圓柱底面圓周上不與A、B重合的一個(gè)點(diǎn).
(Ⅰ)若圓柱的軸截面是正方形,當(dāng)點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)時(shí),求異面直線A1C與AB1的所成角的大。
(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)時(shí),求四棱錐A1-BCC1B1與圓柱的體積比.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,a1=1,當(dāng)n≥2時(shí),其前n項(xiàng)和Sn滿足Sn2=an(Sn-
1
2
).
(1)證明:{
1
Sn
}為等差數(shù)列,并求an;
(2)設(shè)bn=
Sn
2n+1
,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn
(3)是否存在自然數(shù)m,使得對(duì)任意n∈N*,都有Tn
1
4
(m-8)成立?若存在求出m的最大值;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案