Question

已知函數(shù)f（x）=log₂x+3，x∈[1，64]
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若g（x）=f（x²）-[f（x）]²，求g（x）的最小值以及相應(yīng)的x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由觀察法及單調(diào)性求函數(shù)的值域；
（2）首先求出g（x）的定義域，再令log₂x=t，（t∈[0，3]），利用換元法及配方法求函數(shù)的最小值．

解答： 解：（1）∵x∈[1，64]，∴l(xiāng)og₂x∈[0，6]，
∴f（x）=log₂x+3∈[3，9]，
即函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇3，9]； 
（2）由題意可知，g（x）中，

x2∈[1，64] x∈[1，64]

，
解得g（x）的定義域?yàn)閇1，8]，
令log₂x=t，（t∈[0，3]），
則y=g(x)=log2x2+3-(log2x+3)2
=2t+3-（t+3）²=t²-4t-6=（t-2）²-10，
∵t∈[0，3]，
∴當(dāng)t=2，即x=4時(shí)，g（x）的最小值為-10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的值域與定義域的求法，同時(shí)考查了函數(shù)的最值的求法，用到了換元法及配方法，屬于基礎(chǔ)題．