Question

4．已知橢圓$M：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率是$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，上頂點B是拋物線x²=4y的焦點．
（Ⅰ）求橢圓M的標準方程；
（Ⅱ）若P、Q是橢圓M上的兩個動點，且OP⊥OQ（O是坐標原點），由點O作OR⊥PQ于R，試求點R的軌跡方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意的離心率及拋物線的焦點坐標求得a和b的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）分類討論，當直線PQ與x軸不平行時，代入橢圓方程，利用韋達定理，向量數(shù)量積的坐標運算及點到直線的距離公式可得：原點O到PQ的距離丨OR丨=$\frac{丨n丨}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$=$\frac{丨n丨}{\sqrt{\frac{3{n}^{2}}{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，可知動點R的軌跡以O為圓心，$\frac{\sqrt{6}}{3}$為半徑的圓，即可求得點R的軌跡方程．

解答 解：（Ⅰ） 由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
即a=$\sqrt{2}$b拋物線x²=4y的焦點（0，1），
則b=1，則a=$\sqrt{2}$，
橢圓M的標準方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）當直線PQ∥x軸時，則PQ：y=m，則P（$\sqrt{2-2{m}^{2}}$，m），Q（-$\sqrt{2-2{m}^{2}}$，m），
由OP⊥OQ，則$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，整理得：3m2-2=0，解得：m=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴丨OR丨=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
當直線PQ與x軸不平行時，則PQ：x=ty+n，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+n}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（t²+2）y²+2tny+（n²-2）=0，
y₁+y₂=-$\frac{2tn}{{t}^{2}+2}$，y₁y₂=$\frac{{n}^{2}-2}{{t}^{2}+2}$，
由OP⊥OQ，則$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，x₁x₂+y₁y₂=0，即（ty₁+n）（ty₂+n）+y₁y₂=0，
即（t²+1）y₁y₂+tn（y₁+y₂）+n²=0，
化簡整理得：t²=$\frac{3{n}^{2}}{2}$-1，
∴n²≥$\frac{2}{3}$，
由原點O到PQ的距離丨OR丨=$\frac{丨n丨}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$=$\frac{丨n丨}{\sqrt{\frac{3{n}^{2}}{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴動點R的軌跡以O為圓心，$\frac{\sqrt{6}}{3}$為半徑的圓，
∴點R的軌跡方程x²+y²=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，向量數(shù)量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．