Question

已知函數(shù)f(x)=

mx+n

x2+1

(m，n∈R，x∈R)為奇函數(shù)，且f(1)=

1

2

．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判定函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）的單調(diào)性并用單調(diào)性定義進行證明；
（3）若x∈[0，+∞），求函數(shù)f（x）在區(qū)間[k，k+

1

2

](k≥0)內(nèi)的最大值g（k）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)與f(1)=

1

2

求得n與m的值，即可得函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)1＜x₁＜x₂，判斷f（x₁）-f（x₂）的符號，利用定義法判斷并證明函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）的是減函數(shù)；
（3）根據(jù)函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞減，在[0，1]上單調(diào)遞增，利用分類討論求g（k）．

解答：解：（1）∵函數(shù)是奇函數(shù)，∴f（0）=n=0；
由f（1）=

m

2

=

1

2

，得m=1，
∴函數(shù)f（x）的解析式f（x）=

x

x2+1

；
（2）設(shè)1＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

x1

x12+1

-

x2

x22+1

=

(x2-x1)(x1x2-1)

(x12+1)(x22+1)

，
∵x12+1＞0，x22+1＞0，x₂-x₁＞0，x₁x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)；
（3）由（2）知函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞減，在[0，1]上單調(diào)遞增，
①當(dāng)k+

1

2

≤1時，即0≤k≤

1

2

時，g（k）=f（k+

1

2

）=

4k+2

4k2+4k+5

；
②當(dāng)k＜1＜k+

1

2

時，即

1

2

＜k＜1時，g（k）=f（1）=

1

2

；
③當(dāng)k≥1時，g（k）=f（k）=

k

k2+k

；
綜上g（k）=

4k+2 4k2+4k+5 ，0≤k≤ 1 2 1 2 ，                   1 2 ＜k＜1 k k2+k ，         k≥1

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性及解析式的求法，考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，綜合性強，體現(xiàn)了分類討論思想．