Question

橢圓C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別是F₁、F₂，離心率為，過F₁且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1.
(1)求橢圓C的方程；
(2)點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，過點P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點．設直線PF₁，PF₂的斜率分別為k₁，k₂.若k≠0，試證明＋為定值，并求出這個定值．

Answer 1

（1）＋y²＝1.（2）＋為定值，這個定值為－8

(1)由于c²＝a²－b²，將x＝－c代入橢圓方程＝1，得y＝±.
由題意知＝1，即a＝2b².
又e＝＝，所以a＝2，b＝1.所以橢圓C的方程為＋y²＝1.
(2)設P(x₀，y₀)(y₀≠0)，又F₁(－，0)，F₂(，0)，
知，
直線l的方程為y－y₀＝k(x－x₀)．聯(lián)立得
整理得(1＋4k²)x²＋8(ky₀－k²x₀)x＋4(－2kx₀y₀＋k²－1)＝0.
由題意Δ＝0，即(4－)k²＋2x₀y₀k＋1－＝0.
又＋＝1，
所以16k²＋8x₀y₀k＋＝0，故k＝－.
所以＋＝＝·＝－8，
因此＋為定值，這個定值為－8