已知中心在坐標原點焦點在軸上的橢圓C,其長軸長等于4,離心率為.
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)若點(0,1), 問是否存在直線與橢圓交于兩點,且?若存在,求出的取值范圍,若不存在,請說明理由.
(Ⅰ) (Ⅱ) 存在這樣的直線,其斜率的取值范圍是
解析試題分析:(Ⅰ)由題意可設橢圓的標準方程為 1分
則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2. 2分
又,所以, 3分
又由于 4分
所求橢圓C的標準方程為 5分
(Ⅱ)假設存在這樣的直線,設,的中點為
因為所以所以 ①
(i)其中若時,則,顯然直線符合題意;
(ii)下面僅考慮情形:
由,得,
,得 ② 7分
則. 8分
代入①式得,即,解得 11分
代入②式得,得.
綜上(i)(ii)可知,存在這樣的直線,其斜率的取值范圍是 13分
考點:橢圓方程性質及直線與橢圓的位置關系
點評:直線與橢圓相交時常將直線與橢圓聯(lián)立方程組,利用韋達定理找到根與系數(shù)的關系,進而將轉化為點的坐標表示,其中要注意條件不要忽略
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知拋物線E:y2= 4x,點P(2,O).如圖所示,直線.過點P且與拋物線E交于A(xl,y1)、B( x2,y2)兩點,直線過點P且與拋物線E交于C(x3, y3)、D(x4,y4)兩點.過點P作x軸的垂線,與線段AC和BD分別交于點M、N.
(I)求y1y2的值;
(Ⅱ)求訌:|PM|="|" PN|
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
在直角坐標系xoy中,直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))。在極坐標系(與直角坐標系xoy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸)中,圓C的方程為。
(Ⅰ)求圓C的直角坐標方程;
(Ⅱ)設圓C與直線交于點A、B,若點P的坐標為,求|PA|+|PB|。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標系中,點到兩點,的距離之和為,設點的軌跡為曲線.
(1)寫出的方程;
(2)設過點的斜率為()的直線與曲線交于不同的兩點,,點在軸上,且,求點縱坐標的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上,離心率為,它的一個頂點恰好是拋物線的焦點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過點的直線與橢圓相切,直線與軸交于點,當為何值時的面積有最小值?并求出最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知拋物線,直線交拋物線于兩點,且.
(1)求拋物線的方程;
(2)若點是拋物線上的動點,過點的拋物線的切線與直線交于點,問在軸上是否存在定點,使得?若存在,求出該定點,并求出的面積的最小值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓過點,橢圓左右焦點分別為,上頂點為,為等邊三角形.定義橢圓C上的點的“伴隨點”為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求的最大值;
(3)直線l交橢圓C于A、B兩點,若點A、B的“伴隨點”分別是P、Q,且以PQ為直徑的圓經過坐標原點O.橢圓C的右頂點為D,試探究ΔOAB的面積與ΔODE的面積的大小關系,并證明.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知拋物線及點,直線斜率為1且不過點,與拋物線交于點A,B,
(1) 求直線在軸上截距的取值范圍;
(2) 若AP,BP分別與拋物線交于另一點C、D,證明:AD,BC交于定點.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
橢圓的離心率為,兩焦點分別為,點是橢圓C上一點,的周長為16,設線段MO(O為坐標原點)與圓交于點N,且線段MN長度的最小值為.
(1)求橢圓C以及圓O的方程;
(2)當點在橢圓C上運動時,判斷直線與圓O的位置關系.
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