已知中心在坐標原點焦點在軸上的橢圓C,其長軸長等于4,離心率為．
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)若點(0,1), 問是否存在直線與橢圓交于兩點,且？若存在,求出的取值范圍,若不存在,請說明理由.

(Ⅰ)  (Ⅱ) 存在這樣的直線,其斜率的取值范圍是

解析試題分析：(Ⅰ)由題意可設橢圓的標準方程為            1分
則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2．                 2分
又,所以,                       3分
又由于                          4分
所求橢圓C的標準方程為                   5分
(Ⅱ)假設存在這樣的直線,設,的中點為
因為所以所以  ①
(i)其中若時,則,顯然直線符合題意;
(ii)下面僅考慮情形:
由,得,
,得 ②            7分
則．               8分
代入①式得,即,解得               11分
代入②式得,得．
綜上(i)(ii)可知,存在這樣的直線,其斜率的取值范圍是          13分
考點：橢圓方程性質及直線與橢圓的位置關系
點評：直線與橢圓相交時常將直線與橢圓聯(lián)立方程組，利用韋達定理找到根與系數(shù)的關系，進而將轉化為點的坐標表示，其中要注意條件不要忽略

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線E:y2= 4x，點P（2，O）．如圖所示，直線．過點P且與拋物線E交于A（xl，y1）、B（ x2，y2）兩點，直線過點P且與拋物線E交于C（x3， y3）、D（x4，y4）兩點．過點P作x軸的垂線，與線段AC和BD分別交于點M、N．

（I）求y1y2的值；
（Ⅱ）求訌：|PM|="|" PN|

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在直角坐標系xoy中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）。在極坐標系（與直角坐標系xoy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為。
（Ⅰ）求圓C的直角坐標方程；
（Ⅱ）設圓C與直線交于點A、B，若點P的坐標為，求|PA|+|PB|。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，點到兩點，的距離之和為，設點的軌跡為曲線.
（1）寫出的方程；
（2）設過點的斜率為（）的直線與曲線交于不同的兩點,，點在軸上，且，求點縱坐標的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點的直線與橢圓相切，直線與軸交于點，當為何值時的面積有最小值？并求出最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線，直線交拋物線于兩點，且．

（1）求拋物線的方程；
（2）若點是拋物線上的動點，過點的拋物線的切線與直線交于點，問在軸上是否存在定點，使得？若存在，求出該定點，并求出的面積的最小值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓過點，橢圓左右焦點分別為，上頂點為，為等邊三角形.定義橢圓C上的點的“伴隨點”為.
（1）求橢圓C的方程；
（2）求的最大值；
（3）直線l交橢圓C于A、B兩點,若點A、B的“伴隨點”分別是P、Q,且以PQ為直徑的圓經過坐標原點O.橢圓C的右頂點為D，試探究ΔOAB的面積與ΔODE的面積的大小關系,并證明.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線及點,直線斜率為1且不過點,與拋物線交于點A,B,
(1) 求直線在軸上截距的取值范圍；
(2) 若AP,BP分別與拋物線交于另一點C、D，證明:AD,BC交于定點.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

橢圓的離心率為，兩焦點分別為，點是橢圓C上一點，的周長為16，設線段MO（O為坐標原點）與圓交于點N，且線段MN長度的最小值為.
（1）求橢圓C以及圓O的方程；
（2）當點在橢圓C上運動時，判斷直線與圓O的位置關系.

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