已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,離心率為,它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)的直線與橢圓相切,直線與軸交于點(diǎn),當(dāng)為何值時(shí)的面積有最小值?并求出最小值.
(1)
(2)時(shí),有最小值.
解析試題分析:解:(Ⅰ)設(shè)方程為,拋物線的焦點(diǎn)為,
則.
雙曲線的離心率 所以,得
∴橢圓C的方程為. 4分
(Ⅱ)設(shè)直線的方程為,由對稱性不妨設(shè)
由消得: 6分
依題意,得: 8分
由,令,得,即
10分(用表示一樣給分)
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號. 12分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/d5/a/1hjkn2.png" style="vertical-align:middle;" />故時(shí),有最小值. 13分
考點(diǎn):直線與橢圓的位置關(guān)系
點(diǎn)評:主要是考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用,屬于中檔題。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
分別求適合下列條件圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(1)焦點(diǎn) 為、且過點(diǎn)橢圓;
(2)與雙曲線有相同的漸近線,且過點(diǎn)的雙曲線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為幾點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線上兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為,圓的參數(shù)方程(為參數(shù)).
(Ⅰ)設(shè)為線段的中點(diǎn),求直線的平面直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)判斷直線與圓的位置關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知動點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為定值,記的軌跡為.
(1)求的方程,并畫出的簡圖;
(2)點(diǎn)是圓上第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn),過作圓的切線交軌跡于,兩點(diǎn).
(i)證明:;
(ii)求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,直線與軸交于點(diǎn),若(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(I)求橢圓的方程;
(II)設(shè)是橢圓上的任意一點(diǎn),為圓的任意一條直徑(、為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)),求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)焦點(diǎn)在軸上的橢圓C,其長軸長等于4,離心率為.
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)(0,1), 問是否存在直線與橢圓交于兩點(diǎn),且?若存在,求出的取值范圍,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,過拋物線(>0)的頂點(diǎn)作兩條互相垂直的弦OA、OB。
⑴設(shè)OA的斜率為k,試用k表示點(diǎn)A、B的坐標(biāo);
⑵求弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線的焦點(diǎn)為F2,點(diǎn)F1與F2關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱,直線m垂直于軸(垂足為T),與拋物線交于不同的兩點(diǎn)P、Q,且.
(Ⅰ)求點(diǎn)T的橫坐標(biāo);
(Ⅱ)若橢圓C以F1,F2為焦點(diǎn),且F1,F2及橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)圍成的三角形面積為1.
① 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
② 過點(diǎn)F2作直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),設(shè),若的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓具有性質(zhì):若是橢圓:且為常數(shù)上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn),點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn),若直線和的斜率都存在,并分別記為,,那么與之積是與點(diǎn)位置無關(guān)的定值.
試對雙曲線且為常數(shù)寫出類似的性質(zhì),并加以證明.
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