Question

20．（1）已知函數(shù)f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f（x）≥$\frac{k}{x+1}$恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）已知不等式f（x）=ln（x+1）-ax+e^x．如果對(duì)任意x≥0，f（x）≥1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）能夠判斷函數(shù)x-lnx在[1，+∞）上是增函數(shù)，最小值為1＞0．所以在得到x≥1時(shí)g′（x）＞0，所以g（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，最小值為g（1）=2，求出k的范圍即可；
（2）求出f'（x）在（0，+∞）上遞增，分類討論，利用當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍即可．

解答 解：（1）由原不等式得：k≤$\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}$，
令g（x）=$\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}$，則：
g′（x）=$\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$，令h（x）=x-lnx，
則：h′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
∴x≥1時(shí)，h′（x）≥0，即h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）≥h（1）=1＞0；
∴x≥1時(shí)，g′（x）＞0；
∴g （x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
g（x）在[1，+∞）上的最小值為g（1）=2；
因此，k≤2，即實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-∞，2]．
（2）f′（x）=e^x+$\frac{1}{x+1}$-a，
則f″（x）=e^x-$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$＞0，
故f'（x）在（0，+∞）上遞增，
所以當(dāng)a≤2時(shí)，f'（x）≥f'（0）=2-a≥0，
所以f（x）在[0，+∞）上遞增，
故f（x）≥f（0）=1恒成立，
當(dāng)a＞2時(shí)，記φ（x）=f（x）-1，則φ′（x）=e^x+$\frac{1}{x+1}$-a，
記h（x）=e^x+$\frac{1}{x+1}$-a，則h′（x）=e^x-$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$，
當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞e-$\frac{1}{4}$，
顯然0≤x＜1時(shí)，h'（x）＞0，從而φ'（x）在[0，+∞）上遞增，
又φ'（0）=2-a＜0，則存在x₀∈（0，+∞），使得φ'（x₀）=0，
所以φ（x）在（0，x₀）上遞減，
所以當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，φ（x）＜φ（x₀）=0，
即f（x）＜1，不符合題意，
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力．