Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）證明：對(duì)于， 在區(qū)間上有極小值，且極小值大于0.

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析: （1）因?yàn)?/span>， ，曲線在點(diǎn)處的切線方程為: ,代入化簡(jiǎn)即可; （2）因?yàn)?/span>,所以在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù).因?yàn)?/span>， ， 所以,使得. 故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 所以有極小值.因?yàn)?/span>,所以.構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)判斷單調(diào)性與最值即可得證.

試題解析:（Ⅰ） 的定義域?yàn)?/span>，

因?yàn)?/span>，所以，所以.

因?yàn)?/span>， ，

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

（Ⅱ） 因?yàn)?/span>,所以在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù).

因?yàn)?/span>， ，

所以,使得.

所以， ； ， ，

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以有極小值.

因?yàn)?/span>,

所以.

設(shè)， ，

則，

所以，

即在上單調(diào)遞減，所以，

即，所以函數(shù)的極小值大于0．

點(diǎn)睛:本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)的單調(diào)性與極值問(wèn)題. 函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線的斜率，過(guò)點(diǎn)P的切線方程為： .求函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程與求函數(shù)y＝f(x)過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程意義不同，前者切線有且只有一條，且方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)，后者可能不只一條．