Question

在等差數(shù)列{a_n}中，滿足2a₄＝5a₇，且a₁＞0，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若S_n取最大值時(shí)，求n的值．

Answer 1

答案：
解析：

思路與技巧：解決此題的關(guān)鍵，應(yīng)先根據(jù)條件求通項(xiàng)，再根據(jù)等差數(shù)列特點(diǎn)，求使Sn最大時(shí)的n值． 　　 　　 　　評(píng)析：公差不為0的等差數(shù)列：①通項(xiàng)公式結(jié)構(gòu)an＝kn＋b，故a1＞0且d＜0時(shí)，Sn有最大值；當(dāng)a1＜0且d＞0時(shí)，Sn有最小值．②前n項(xiàng)和公式結(jié)構(gòu)Sn＝an2＋bn，當(dāng)d＞0時(shí)為開(kāi)口向上的拋物線；當(dāng)d＜0時(shí)為開(kāi)口向下的拋物線，利用二次函數(shù)性質(zhì)并結(jié)合圖象可使問(wèn)題更加直觀，揭示問(wèn)題本質(zhì)．其實(shí)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值一般就兩個(gè)思路． 　　思路一：(1)若d＞0且a1≥0，則有0≤a1＜a2＜a3＜…＜an－1＜an＜… 　　∴S1＜S2＜S3＜…＜Sn－1＜Sn＜… 　　∴Sn的最小值是S1． 　　(2)若d＞0，且a1＜0， 　　則一定存在某一自然數(shù)k，使a1＜a2＜a3＜…＜ak≤0＜ak+1＜ak+2＜…＜an－1＜an＜… 　　或a1＜a2＜a3＜…＜ak＜0≤ak+1＜ak+2＜…＜an－1＜an＜… 　　則0＞S1＞S2＞…＞Sk，且Sk＜Sk+1＜Sk+2＜…＜Sn＜… 　　∴Sn的最小值是Sk． 　　(3)若d＜0，而a1＞0，必存在自然數(shù)k使a1＞a2＞a3＞…＞ak≥0＞ak+1＞ak+2＞…＞an＞…或a1＞a2＞a3＞…＞ak＞0≥ak+1＞ak+2＞…＞an＞… 　　則S1＜S2＜S3＜…＜Sk，且Sk＞Sk+1＞…＞Sn＞… 　　∴Sn的最大值是Sk． 　　(4)若d＜0，且a1≤0，則有0≥a1＞a2＞a3＞…＞an－1＞an＞… 　　∴S1＞S2＞S3＞…＞Sn－1＞Sn＞… 　　∴Sn的最大值是S1．