Question

已知a∈R，求函數(shù)f（x）=x²e^ax的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這一點(diǎn)不是很難，但要注意對a進(jìn)行分類討論
解答：解：函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)：f'（x）=2xe^ax+ax²e^ax=（2x++ax²）e^ax．
（I）當(dāng)a=0時，若x＜0，則f'（x）＜0，若x＞0，則f'（x）＞0．
所以當(dāng)a=0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)．
（II）當(dāng)，
由
所以，當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-）內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間（-，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)；
（III）當(dāng)a＜0時，由2x+ax²＞0，解得0＜x＜-，
由2x+ax²＜0，解得x＜0或x＞-．
所以當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，-）內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間（-，+∞）內(nèi)為減函數(shù)．
點(diǎn)評：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想．