Question

已知a∈R，求函數(shù)f（x）=x²e^ax的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這一點不是很難，但要注意對a進行分類討論

解答：解：函數(shù)f（x）的導數(shù)：f'（x）=2xe^ax+ax²e^ax=（2x++ax²）e^ax．
（I）當a=0時，若x＜0，則f'（x）＜0，若x＞0，則f'（x）＞0．
所以當a=0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)．
（II）當a＞0時，由2x+ax2＞0，解得x＜-

2

a

或x＞0，
由2x+ax2＜0，解得-

2

a

＜x＜0.
所以，當a＞0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-

2

a

）內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間（-

2

a

，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)；
（III）當a＜0時，由2x+ax²＞0，解得0＜x＜-

2

a

，
由2x+ax²＜0，解得x＜0或x＞-

2

a

．
所以當a＜0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，-

2

a

）內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間（-

2

a

，+∞）內(nèi)為減函數(shù)．

點評：本小題主要考查導數(shù)的運算，應用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分類討論的數(shù)學思想．