Question

13．已知集合A={x∈R|0＜ax+1≤5}，B={x∈R|$\frac{1}{2}$＜x+1≤2}（a≠0）
（1）A，B能否相等？若能，求出實數a的值；若不能，試說明理由；
（2）若命題p：x∈A，命題q：x∈B，且p是q充分不必要條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分a＞0和a＜0兩種情況討論是否存在滿足條件的實數a的值，綜合討論結果，可得答案；
（2）若p是q充分不必要條件，則A?B，分類討論，可得滿足條件的a的取值范圍．

解答 解：（1）解$\frac{1}{2}$＜x+1≤2得：-$\frac{1}{2}$＜x≤1，
故B={x∈R|-$\frac{1}{2}$＜x≤1}，
當a＞0時，集合A={x∈R|0＜ax+1≤5}={x∈R|-$\frac{1}{a}$＜x≤$\frac{4}{a}$}，
此時方程組$\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{a}=-\frac{1}{2}\\ \frac{4}{a}=1\end{array}\right.$無解，
當a＜0時，集合A={x∈R|0＜ax+1≤5}={x∈R|$\frac{4}{a}$≤x＜-$\frac{1}{a}$}，
不可能有A=B，
綜上，不存在滿足條件的a值；
（2）若p是q充分不必要條件，則A?B，
當a＞0時，$\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{a}≥-\frac{1}{2}\\ \frac{4}{a}≤1\end{array}\right.$，解得：a≥4；
當a＜0時，$\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{a}＞-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{a}≤1\end{array}\right.$解得：a＜-8
綜上可得：a＜-8，或a≥4

點評 本題考查的知識點是集合相等，充要條件，分類討論思想，難度中檔．