Question

5．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足3S_n=a_n+4（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若等差數(shù)列{b_n}的公差為3，且b₂a₅=-1，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n及T_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）由已知，得b₂=-$\frac{1}{{a}_{5}}$=-8，又等差數(shù)列{b_n}的公差d=3，可得b_n，令b_n≤0，解出即可得出，再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得T_n．

解答 解：（1）由3S_n=a_n+4，當(dāng)n≥2時(shí)，3S_n-1=a_n-1+4，
兩式相減得：3（S_n-S_n-1）=（a_n+4）-（a_n-1+4）=a_n-a_n-1，
整理得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=-$\frac{1}{2}$（n≥2）．
又3a₁=a₁+4，得a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，以-$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
故有a_n=2×（-$\frac{1}{2}$）^n-1．
（2）由已知，得b₂=-$\frac{1}{{a}_{5}}$=-8，又等差數(shù)列{b_n}的公差d=3，
故b_n=b₂+（n-2）d=3n-14，b₁=-8-3=-11．
因此當(dāng)n≤4時(shí)，b_n＜0，當(dāng)n≥5時(shí)，b_n＞0，
∴n=4時(shí)，{b_n}的前n項(xiàng)和T_n最小，
最小值為T₄=$\frac{4（_{1}+_{4}）}{2}$=-26．
T_n=$\frac{n（-11+3n-14）}{2}$=$\frac{n（3n-25）}{2}$=$\frac{3}{2}{n}^{2}$-$\frac{25}{2}$n．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．