Question

設(shè)f（x）=（x+1）ln（x+1）+m（x²+2x）（m∈R）
（1）當(dāng)m=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）的定義域是（-1，+∞），ln（x+1）≤x．當(dāng)m=-1時(shí)，f（x）=（x+1）ln（x+1）-x²-2x，f'（x）=ln（x+1）-2x-1≤x-2x-1=-（x+1）＜0，由此能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）由題意得：f（0）=0，f′（x）=ln（x+1）+（1+2m）+2mx≤x+（1+2m）+2mx=（1+2m）（x+1）．由此進(jìn)行分類講座能得到所求的m的取值范圍．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域是（-1，+∞），
令p（x）=ln（x+1）-x，
p′(x)= 

1

x+1

-1，
當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，p′（x）＞0；當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，p′（x）＜0，
∴當(dāng)x=0時(shí)，p（x）取最大值p（0）=ln1-0=0，
∴p（x）=ln（x+1）-x≤0，
∴l(xiāng)n（x+1）≤x．
當(dāng)m=-1時(shí)，f（x）=（x+1）ln（x+1）-x²-2x，
則f'（x）=ln（x+1）-2x-1≤x-2x-1=-（x+1）＜0
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，+∞）．
（2）由題意得：f（0）=0，
f′（x）=ln（x+1）+（1+2m）+2mx
≤x+（1+2m）+2mx
=（1+2m）（x+1）．
若m≤-

1

2

，x≥0時(shí)，f′（x）≤0，
即f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)，
故此時(shí)f（x）≤f（0）=0恒成立．
若-

1

2

＜m＜0，x≥0時(shí)，
設(shè)g（x）=ln（x+1）+（1+2m）+2mx，
則g′(x)=

1

x+1

+2m，
由g′(x)=

1

x+1

+2m＞0，得x＜-

1+2m

2m

；
由g′(x)=

1

x+1

+2m＜0，得x＞-

1+2m

2m

．
∴g（x）在（0，-

1+2m

2m

）上遞增，在（-

1+2m

2m

，+∞）上遞減，
∴當(dāng)x∈(0，-

1+2m

2m

)時(shí)，f′（x）=g（x）＞g（0）=1+2m＞0，
故此時(shí)f（x）＞f（0）=0，不符合題意．
若m≥0，x≥0時(shí)，
f（x）=（x+1）ln（x+1）+m（x²+2x）≥（x+1）ln（x+1）≥0，不符合題意．
綜上所述：所求的m的取值范圍是m≤-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法和求實(shí)數(shù)m的取值范圍，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)，是高考的重點(diǎn)．易錯(cuò)點(diǎn)是分類不清導(dǎo)致出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行分類求解．