Question

已知f(x)=4cosxcos(x-

π

3

)-2．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）f（x）解析式利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可確定出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出f（x）的最大與最小值．

解答：解：（1）f（x）=4cosx（

1

2

cosx+

3

2

sinx）-2=

3

sin2x+2cos²x-2=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）-1，
當(dāng)-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，即-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z時，f（x）單調(diào)遞增，
則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z；
（2）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，∴2x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，
當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時，f（x）取得最大值，最大值為f（

π

6

）=1；
當(dāng)2x+

π

6

=-

π

3

，即x=-

π

4

時，f（x）取得最小值，最小值為f（-

π

4

）=-

3

-1；
則f（x）的最大值為1，最小值為-

3

-1．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，三角函數(shù)的周期性及其求法，以及正弦函數(shù)的定義域和值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．