Question

14．已知命題P“雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上任意一點Q到直線l₁：bx+ay=0，l₂：bx-ay=0的距離分別記作d₁，d₂則d₁，d₂為定值”是真命題
（1）求出d₁•d₂的值
（2）已知直線l₁，l₂關(guān)于y軸對稱且使得橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上任意點到l₁，l₂的距離d₁，d₂滿足${mq7ppgl_{1}}^{2}+{z0pew2t_{2}}^{2}$為定值，求l₁，l₂的方程
（3）已知直線m與（2）中某一條直線平行（或重合）且與橢圓C交于M，N兩點，求|OM|+|ON|的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)“雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上任意一點Q，求出點Q到直線l₁、l₂的距離d₁、d₂，計算d₁•d₂的值即可；
（2）根據(jù)題意，結(jié)合（1）的結(jié)論知，l₁與l₂的方程分別為bx-ay=0和bx+ay=0，驗證是否滿足條件即可；（3）根據(jù)題意，得出直線m的方程為bx-ay=0時，與橢圓C交于M，N兩點，此時|OM|+|ON|取得最大值，求出即可．

解答 解：（1）設(shè)“雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上任意一點Q（x₀，y₀）
則點Q到直線l₁：bx+ay=0的距離為d₁=$\frac{{|bx}_{0}+{ay}_{0}|}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$，
點Q到直線l₂：bx-ay=0的距離為d₂=$\frac{|{bx}_{0}-{ay}_{0}|}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$；
∴d₁•d₂=$\frac{|{bx}_{0}+{ay}_{0}|}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$•$\frac{|{bx}_{0}-{ay}_{0}|}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$
=$\frac{{{{|b}^{2}x}_{0}}^{2}{{{-a}^{2}y}_{0}}^{2}|}{{a}^{2}{+b}^{2}}$
=$\frac{{{a}^{2}b}^{2}}{{a}^{2}{+b}^{2}}$為定值；
（2）設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上任意點P（x₀，y₀），
則點P到l₁，l₂的距離d₁，d₂滿足${zybs2h2_{1}}^{2}+{clmqhag_{2}}^{2}$為定值，
由（1）知，l₁的方程為：bx-ay=0，l₂的方程為：bx+ay=0；
則d₁=$\frac{|{bx}_{0}-{ay}_{0}|}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$，d₂=$\frac{|{bx}_{0}+{ay}_{0}|}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$；
∴${52a7lpt_{1}}^{2}$+${142uy7s_{2}}^{2}$=$\frac{{（{bx}_{0}-{ay}_{0}）}^{2}}{{a}^{2}{+b}^{2}}$+$\frac{{（{bx}_{0}+{ay}_{0}）}^{2}}{{a}^{2}{+b}^{2}}$
=$\frac{2{{{（b}^{2}x}_{0}}^{2}{{{+a}^{2}y}_{0}}^{2}）}{{a}^{2}{+b}^{2}}$
=$\frac{{{a}^{2}b}^{2}}{{a}^{2}{+b}^{2}}$為定值；
∴直線l₁的方程為bx-ay=0，l₂的方程為bx+ay=0；
（3）根據(jù)題意，設(shè)直線m的方程為bx-ay+k=0，
當k=0時，直線bx-ay與橢圓C$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1交于M，N兩點，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\\{bx-ay=0}\end{array}\right.$，
解得x=$\frac{a}{\sqrt{2}}$，y=$\frac{\sqrt{2}}$或x=-$\frac{a}{\sqrt{2}}$，y=-$\frac{\sqrt{2}}$；
此時|OM|+|ON|取得最大值，
是2$\sqrt{{（\frac{a}{\sqrt{2}}）}^{2}{+（\frac{\sqrt{2}}）}^{2}}$=$\sqrt{2{（a}^{2}{+b}^{2}）}$．

點評 本題考查了橢圓與雙曲線的定義、標準方程與幾何性質(zhì)的應(yīng)用問題，考查了解方程與求最值的應(yīng)用問題，
考查了點到直線的距離的應(yīng)用問題，也考查了分析問題，解決問題的能力，是綜合性題目．